Block VI

Wellenoptik

Warum ein Laserstrahl hinter einem schmalen Spalt auseinanderläuft, warum eine CD Regenbogenfarben zeigt und wie ein Haar seine Dicke verrät — alles folgt aus einem einzigen Konstruktionsprinzip.

1 · Strahlenmodell oder Wellenmodell?

Das Strahlenmodell (Newton): Licht läuft geradlinig — Öffnungen werfen scharfe Schatten, nichts gelangt in den geometrischen Schattenraum. Es erklärt Schatten, Streuung und geradlinige Ausbreitung.

Das Wellenmodell (Huygens): Licht ist eine Welle. Hinter schmalen Spalten, Kanten und kleinen Hindernissen läuft sie auch in die Schattenräume hinein — das heißt Beugung.

Der erste Widerspruch

Leuchtet man mit einem Laser auf einen Spalt und macht ihn schmaler, wird das Bild auf dem Schirm breiter — eine orthogonale Linie aus Licht und Dunkel. Geradlinige Teilchenstrahlen können das nicht: sie müssten bei schmalerem Spalt nur schmaler werden.

Historisch entschieden: Young (1801, Interferenzstreifen), Fresnel & Arago (1819, der „absurde" helle Fleck im Schatten einer Kreisscheibe — Poisson'scher Fleck, den Arago fand) und Foucault (1850, Licht ist im Wasser langsamer — Newtons Teilchen sagten schneller voraus).

2 · Das Huygens'sche Prinzip

Kerngedanke

Jeder Punkt einer Wellenfront ist Ausgangspunkt einer kreisförmigen Elementarwelle. Die neue Wellenfront ist die gemeinsame Einhüllende aller Elementarwellen.

Damit erklären sich Reflexion, Brechung und Beugung mit einem einzigen Prinzip — für Wasserwellen, Schall, Licht und Mikrowellen gleichermaßen:

Brechung: Im langsameren Medium sind die Elementarwellen-Radien kleiner; die Wellenfront knickt zum Lot hin ab.
Beugung am Spalt: Ist die Spaltbreite ≈ λ, wird hinter dem Spalt eine fast kreisförmige neue Wellenfront (Ausbreitung in alle Richtungen). Bei Spaltbreite ≫ λ bleibt die Front mittig eben; nur an den Rändern biegen Elementarwellen ein.
Alltag: Musik hört man um die Hausecke (Schall: λ ≈ 1 m → starke Beugung), sieht aber den Musiker nicht (Licht: λ ≈ 500 nm → Beugung winzig).

Typische Fehlvorstellung

„Beugung gibt es nur an den Rändern des Spalts — in der Mitte läuft die Welle gerade weiter." Von jedem Punkt im Spalt geht eine Elementarwelle aus, nicht nur vom Rand; die Welle kommt überall in der Öffnung an — und das gesamte Muster ist deren Überlagerung.

3 · Licht im Medium: f bleibt, c und λ ändern sich

Tritt Licht der Wellenlänge $\lambda_0$ aus Luft in Glas ($n$) ein:

Die Frequenz f bleibt konstant — sie wird von der Quelle vorgegeben. Ausbreitungsgeschwindigkeit und Wellenlänge schrumpfen:

$$v = \frac{c}{n}, \qquad \lambda = \frac{\lambda_0}{n}$$

Beispiel: $\lambda_0 = 600$ nm, $n = 1{,}50$ → im Glas $v = 2{,}0\cdot 10^{8}$ m/s, $\lambda = 400$ nm, $f = 5{,}0\cdot 10^{14}$ Hz. Das entscheidet auch Messungen: ein Interferenzversuch unter Wasser zeichnet ein engeres Muster, keine andere Farbe.

Brechzahl n

Gleiche Frequenz, kürzere Wellenlänge: die Wellenberge stauen sich an der Grenze.

4 · Doppelspalt und Gitter

Woher das Muster kommt — die vier Stichworte

Merke (Abitur)

Jede Erklärung enthält: Beugung – Elementarwellen – Gangunterschied – Interferenz. Und bei Messungen heißt es „unter Verwendung aller Messwerte" — über mehrere Maxima messen und teilen.

Beide Spalte senden Elementarwellen (Beugung). Laufen sie zum selben Schirmpunkt, unterscheiden sich ihre Wege um den Gangunterschied $\Delta s$. Konstruktive Interferenz (Maximum) bei $\Delta s = k\lambda$; destruktive (Minimum) bei $\Delta s = (k + \tfrac12)\lambda$. Der Schirm steht weit weg ($L \gg d$), sodass beide Wellen näherungsweise parallel laufen — dann ist $\Delta s = g \cdot \sin\alpha$:

$$\text{Doppelspalt / Gitter, Maxima:} \quad g \cdot \sin\alpha_k = k\,\lambda, \quad k = 0,1,2,\dots$$ $$\text{Kleinwinkelnäherung } (\sin\alpha \approx \tan\alpha): \quad d_k \approx \frac{k\,\lambda\, a}{g}, \qquad \Delta x = \frac{\lambda\, a}{g}$$

Zwei Notationen — eine Falle

Im Abi/Universum: $g$ = Spaltmittenabstand, $a$ = Schirmabstand, $d_k$ = Abstand des k-ten Maximums, $k$ = Ordnung. Einige Blätter schreiben $d, L, x_m, m$. Und die IQB-Formelsammlung nennt die Spaltbreite $d$ — nicht den Schirmabstand, nicht den Streifenabstand.

Spaltabstand Spalte

Elementarwellen aus jedem Spalt überlagern sich; am Schirm (rechts) entsteht das Intensitätsmuster. Mehr Spalte → N − 2 schwache Nebenmaxima, schärfere Hauptmaxima.

Wie viele Maxima gibt es?

Da $|\sin\alpha| \le 1$, ist die höchste Ordnung $k_{\max} = \lfloor g/\lambda \rfloor$ — auf einem halbkreisförmigen Schirm also $2k_{\max} + 1$ Maxima (die 0. Ordnung nur einmal zählen!). Mehrfachspalte mit $N$ Spalten: gleiche Maxima-Positionen, aber $N - 2$ schwache Nebenmaxima dazwischen — die Hauptmaxima werden schärfer.

Rechenbeispiel: Natriumdampflampe λ = 589 nm, g = 0,15 mm, a = 3,0 m

$\sin\alpha_3 = \dfrac{3\cdot 589\cdot 10^{-9}}{0{,}15\cdot 10^{-3}} = 0{,}0118 \Rightarrow \alpha_3 \approx 0{,}67^\circ$; $x_3 = a\tan\alpha_3 \approx 3{,}5\,\mathrm{cm}$. Kleinwinkelnäherung gerechtfertigt (sin α ≈ tan α auf <0,01 % genau). Blaues Licht (450 nm): $\alpha_3$ und $x_3$ schrumpfen um den Faktor 450/589 ≈ 0,76.

5 · Der Einzelspalt — die Falle k = 0

Nach Huygens interferieren hier Elementarwellen innerhalb einer Öffnung. In der Mitte ($\alpha = 0$) sind alle Wege gleich lang → breites Hauptmaximum. Für das erste Minimum halbiert man den Spalt gedanklich: wählt man den Winkel so, dass die Randstrahlen den Gangunterschied $\Delta s = b\sin\alpha = \lambda$ haben, dann liegt zu jeder Welle der oberen Hälfte eine Partnerwelle der unteren Hälfte im Abstand $b/2$ — Gangunterschied $\lambda/2$ — und alle löschen sich paarweise aus:

$$\text{Einzelspalt, Minima:} \quad b \cdot \sin\alpha_k = k\,\lambda, \quad k = 1,2,3,\dots$$

$k = 0$ ist kein Minimum — es ist die Mitte des Hauptmaximums. Mit $d_k \approx k\lambda a/b$ ist die Breite des Hauptmaximums $H = 2d_1$.

Für $\Delta s = 2\lambda$ teilt man in 4 Teile (Teil 1 löscht 2, Teil 3 löscht 4 → dunkel); bei $\Delta s = \tfrac{3}{2}\lambda$ in 3 Teile — zwei löschen sich, eins bleibt: ein schwaches Nebenmaximum (~5 % der Mitte). Die IQB-Näherung dafür: $\sin\alpha_k = \dfrac{(2k+1)\lambda}{2b}$.

Spaltbreite b µm λ nm

Intensität hinter dem Einzelspalt: gestrichelt die Minima b·sin α = k·λ. Je schmaler der Spalt, desto breiter das Bild.

Rechenbeispiel: λ = 650 nm, b = 0,20 mm, a = 2,5 m

$\sin\alpha_1 = \lambda/b = 0{,}00325$ (Kleinwinkel!) → $d_1 = a\sin\alpha_1 = 8{,}1$ mm → Breite des Hauptmaximums $H = 2d_1 = 16{,}3$ mm. Erstes Nebenmaximum (IQB-Näherung): $\sin\alpha \approx \dfrac{3\lambda}{2b} = 0{,}0049$ → $d \approx 12{,}2$ mm.

Fallen, die BE kosten

① $b\sin\alpha = k\lambda$ liefert beim Einzelspalt Minima, beim Doppelspalt/Gitter Maxima. ② Breite des Hauptmaximums = 2·d₁, nicht d₁. ③ Kleinwinkelnäherung prüfen: bei sin α ≳ 0,1 exakt rechnen (d = a·tan α). ④ Kein Minimum, wenn λ > b — dann gibt's nur ein diffuses Bild.

6 · Realer Doppelspalt, fehlende Ordnungen, Babinet

Ein reeller Doppelspalt ist zwei Einzelspalte: Das Doppelspaltmuster (feine Streifen, Abstand von $g$ bestimmt) sitzt unter der Einhüllenden der Einzelspalt-Beugung (Breite von $b$ bestimmt). Fällt ein Doppelspaltmaximum auf ein Einzelspaltminimum, fehlt es:

$$g\sin\alpha = k\lambda \;\wedge\; b\sin\alpha = n\lambda \;\Rightarrow\; k = n\cdot\frac{g}{b}$$

Beispiel: fehlt jede 3. Ordnung → $g/b = 3$ → $b = g/3$. Im Zentrum der Einhüllenden liegen dann $2(g/b) - 1 = 5$ helle Streifen.

Babinet'sches Prinzip

Ein Hindernis (Haar, Draht, Faser, Wassertröpfchen) und eine gleich große Öffnung erzeugen außerhalb der Bildmitte dasselbe Beugungsbild. Deshalb misst man Faserdicke D mit der Einzelspaltformel: $D \cdot \sin\alpha_k = k\lambda$ — so arbeitet das Faser-Prüflabor in der Textilindustrie, und so entsteht der farbige Mondring (Korona) an gleich großen Tröpfchen.

7 · Kohärenz, Spektren, Alltagsbeugung

Kohärent heißt: fester Phasenzusammenhang über die Zeit. Zwei gewöhnliche Lampen erzeugen kein Interferenzmuster — ihre Phasen springen ständig, das Muster verwischt schneller als das Auge sieht. Ein Laser liefert kohärentes Licht; darum funktioniert das Doppelspalt-Experiment im Kurs mit Laser.

CD/DVD als Reflexionsgitter: die Datenspuren haben festen Abstand g; es gilt dieselbe Bedingung $g\sin\alpha_k = k\lambda$ wie für ein Durchlassgitter. Beispiel: roter Laser (650 nm), erstes Maximum unter α₁ = 24° → $g = \lambda/\sin 24° \approx 1{,}6$ µm, höchste Ordnung $\lfloor g/\lambda\rfloor = 2$. Eine DVD (Spurabstand 0,74 µm, enger) streut dasselbe Laserlicht stärker — größere Beugungswinkel, weniger Ordnungen. Weißes Licht an der CD: jedes λ hat eigene Maxima-Winkel → farbige Spektren, die sich bei höheren Ordnungen überlappen können (Prüffrage: liegt das blaue Ende der 2. Ordnung innerhalb der roten 1. Ordnung?).

Welche Formel?	Einzelspalt (Breite b)	Doppelspalt / Gitter (Abstand g)
Bedingung	Minima $b\sin\alpha_k = k\lambda$, k = 1,2,…	Maxima $g\sin\alpha_k = k\lambda$, k = 0,1,…
k = 0	kein Minimum — Mitte des Hauptmaximums	Maximum 0. Ordnung
Kleinwinkel	$d_k \approx k\lambda a/b$; $H = 2d_1$	$d_k \approx k\lambda a/g$
Länge in der Formel	b = Spaltbreite	g = Gitterkonstante